まず、ゲームの行われた回数と、３枚のカードの合計を考えます。
３人の得点の合計は、２３＋２１＋１３＝５７点です。
５７＝３×１９であることから、ゲームの回数と、３枚カードの合計は、
| | ゲームの回数 | ３枚のカードの合計 |
| Ａ | １ | ５７ |
| Ｂ | ３ | １９ |
| Ｃ | １９ | ３ |
| Ｄ | ５７ | １ |
という４つのパターンが考えられます。しかし、問題の条件にあてはまるのはＢのパターンだけですね。なぜなら、Ａだとカードの数は１０以下という条件に当てはまりません。Ｃならばカードの書かれた数は３枚とも１ということになり、３人の得点が異なるはずはないですね。Ｄの場合は、カードの数は１以上であるという条件に当てはまりません。
さて、３枚のカードの数の合計が１９であることは分かりました。今度はそれぞれの数を求めることになります。３枚のカードに書かれた数をそれぞれ○、△、□とします。
配られ方のパターンとして、○△□というのは考えられません。なぜなら、得点が１９点の人がいないからです。
また、○○○とか△△△、□□□というのも考えられません。もし考えられるとしたら３の倍数の得点（２１点）をもつトモエさんだけですが、そうであるとすると、
マサル（２３点） △□□
トモエ（２１点） ○○○
ツヨシ（１３点） △△□
というような配られ方であることになります。このとき、マサル君とツヨシ君の差はすなわち□と△の差ということになります。そして、その差は１０点です。カードは１以上１０以下ですから、差が１０点というのはおかしいですね。
となると、配られ方のパターンは、□＞△＞○ とすると、
マサル（２３点） △□□
トモエ（２１点） ○△△
ツヨシ（１３点） □○○
のようなパターンであると考えられます。（ちょっとごまかしていますが...）まとめてみると、
△＋□＋□＝２３・・・（１）
○＋△＋△＝２１・・・（２）
□＋○＋○＝１３・・・（３）
そして、
○＋△＋□＝１９・・・（４）
という４つの式ができます。
（１）と（４）を比較すると、□ー○＝４
（２）と（４）を比較すると、△ー□＝２
（３）と（４）を比較すると、△ー○＝６
と分かります。つまり、
□＝○＋４
△＝○＋６
ですから、
○＋（○＋６）＋（○＋４）＝１９
３×○＝９
○＝３
よって、
□＝３＋４＝７
△＝３＋６＝９
答え：３、７、９
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