第７１回　“解答と解説”

　まずは小学生的解法を。

　１ｇの重さを量れるようにするには、１ｇのおもりがあればＯＫです。

　次に、２ｇの重さを量れるようにするわけですが、このときに考えられるのは、

　Ａ案　１ｇのおもりをもう一個用意する。
　Ｂ案　２ｇのおもりを用意する。
　Ｃ案　３ｇのおもりを用意する。

　の３通りが考えられます。この中で最も効率が良いのはＣ案ですね。なぜなら、これだと１ｇから４ｇまでの重さをすべて量ることができるようになりますから。

　さて次は５ｇを量れるようにすればよいわけですね。

　このときは、１ｇ、２ｇ、３ｇ、４ｇ、５ｇ、６ｇ、７ｇ、８ｇ、９ｇの９通りが考えられるわけです。

　もちろんここで選ぶのは９ｇのおもりですね。

　で、以下同様にして、次は２７ｇのおもりと分かるわけです。

　　　　　　　　　答え：１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇの４つのおもり

　さて、上記の解答は小学生向けのものですが、実際には一つ疑問が残ります。それは、「果たして４個というのが最少であるのか」というものです。そこで、n個のおもりがあるときに、最大何通りの重さをはかることができるのかを考えてみます。

　n個のおもりがあるとき、このおもりの使い方は、「右の皿にのせる」「左の皿にのせる」「載せない」の３通りがあります。 つまり、3n通りの使い方が考えられることになります。しかし、これだとおもりを全く載せない場合が含まれていますね。そこで、3n-1とします。まだこれでも問題があります。この中には、例えば「右に１ｇ、左に３ｇ」の場合と「右に３ｇ、左に１ｇ」の場合が含まれているのです。で、これを２で割れば良いことになります。
　つまり、n個のおもりがあるとき、量ることのできる重さは最大で(3n-1)/2通りであることが分かります。

　n=4のときは、量れる重さは４０通りと分かりますから、これはバッチリですね。

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