５００円玉の外周は２.７cm×円周率です。１円玉の外周はこの問題の場合、１×円周率です。（※）ということは、
（２.７×円周率）÷（１×円周率）＝２.７（回転）
というわけで、この状態なら２.７回転するはずですね。ところが、この直線をまるめて円にすると、上図（の下の方）のようになります。さあ、想像力を働かせてください。１円玉が１周余計に回っていることが分かるでしょうか...？
これが分かればあとは簡単ですね。つまり、１円玉が５００円玉の回りを１周するとき、１円玉自信は２.７＋１＝３.７回転するんです。
また、１円玉は向き・位置ともに同じにならなくてはなりません。１円玉が５００円玉の回りを１周した状態では、１円玉は３.７回転ですから、明らかに向きが違いますね。この回転数が整数になれば、向きも同じということになります。
もう、お分かりですね。３.７回転を１０回繰り返せば３７回転となり、向き・位置ともに同じになります。
解答：３７回転