「班の人数ができるだけ多くなるように」作り、それが「最も少ない場合」ですから、６人の友人を持っている人がいっぱいいる場合を考えればよいことになりますね。
そこで、６人の友人を持っている人が、その班に入ったとします。すると、その人の友人６人は班に入る資格を失うことになりますね。逆に、残った351-1-6=344人は、その班に入る資格がありますね。（班の１人と友人ではないですから...）そこで、適当な人がその班に入ったとします。するとまた、６人の人が資格を失います。
このように考えると、１人が班に入るたびに残りの人数から６人が資格を失っていくことになります。つまり、１度に７人ずつ消えていく（過激な表現...）わけですね。
となると、あとは計算ですね。
351÷7=50・・・1
よって、
50+1=51
解答：51人