使えるカードは１から７までの７種類ですね。で、例えば千の位・百の位・十の位がそれぞれ１、２、３となっている場合を考えていましょう。同じ数字は何回登場しても構いませんから、ここで考えられる数字は、
１２３１
１２３２
１２３３
１２３４
１２３５
１２３６
１２３７
の７種類ですね。このうち、７で割りきれるのは１２３２だけです。ここでちょっと考えてみてください。これって当たり前だと思いませんか？いや、１２３２が割りきれることじゃなくて、この７種類の中で１つだけが割りきれることです。だって、ここには「連続する７つの整数」があるのですから、そのうちの１つが７で割りきれるのは当たり前ですよね。
となると、千の位・百の位・十の位のパターンだけを考えて、あとはそれぞれに１つ７の倍数があるとすれば良いわけです。このパターン数は、７×７×７＝３７３（通り）となりますね。
解答：343通り