この問題ですが、私が考えていた手法と全く異なる、しかも素晴らしい解法をＴＯＲＡさんにお考えいただいたので、両方を紹介させていただくことにします。
＜想定していた解法＞
それぞれの周回で、残る玉の番号を考えます。
１週目 ２の倍数が残ります。（２、４、６、・・・、２００）
２週目 ４の倍数が残ります。（４、８、１６、・・、２００）
３週目 ８の倍数が残ります。（８、１６、２４、・・２００）
４週目 １６の倍数が残ります。（１６、３２、・・・、１９２）
ここでお気づきのように、２００が無くなってしまいます。実はこれが原因でこれまでの規則性が崩れてしまうんです。もしも最後の数である２００が消えなければ、５週目には３２の倍数が残るハズなのですが、それが使えなくなってしまったので、ここからは数えあげるしかありません。（実はＴＯＲＡさんの手法はこれをくつがえす素晴らしい手法です。）
５週目 １６、４８、８０、１１２、１４４、１７６ が残ります。（実は３２の倍数を取ることになります。）
６週目 １６、８０、１４４ が残ります。
７週目 １６、１４４ が残ります。
８週目 １４４が残ります。
＜ＴＯＲＡさんの手法＞
前述のように、規則性がなくなってしまうのは、途中で２００が取れてしまうからです。もしこれがなければ、５週目以降は、３２の倍数→６４の倍数→１２８の倍数となり、最後には１２８が残るハズです。
これを逆手にとって、ボールの残り個数が１２８個になった場合を考えるのがＴＯＲＡさんの手法です。「１２８個残る＝７２個取る」ですから、１週目の後半、１４３のボールを取ったところが７２個目を取ったところです。この時点で残り個数は１２８個ですね。次は１４５のボールを取ることになります。この１４５のボールを１番目のボールと見立てると、１４４のボールは最後のボール（１２８のボール）ということになりますね。
というわけで、１２８番のボールが最後に残ることになります。
解答：１２８番