この装置の動作が実は、「入ってきた整数を９で割った余りを求める」動作であることに気づく必要があります。（気づかなくても解けますが....（^^;;）その理由ですが、例えば（例）にあがっている１３２７の場合、まず１＋３＋２＋７＝１３となります。これは１３２７＝１０００＋１００×３＋１０×２＋１×７であることを考えると、実は９で割った余りを求めている途中であると見ることもできます。１０００、１００、１０、１のいづれも、９で割った余りは１ですね。１３２７の中に入っている９の個数を考えるのが「９で割る」という作業ですから、１０００の中には１１１個の９があって１だけ余ることになりますね。同様に、１００×３の中には３３個の９があって３だけ余ることになり、１０×２の中には９が２個と２だけあまる、・・・・ということになります。どうでしょう？
（１）
Ａの１１倍を９で割った余りが７である、ということです。Ａ×１１＝Ａ×９＋Ａ×２とすると、前半部は割りきれますから、結局余りの７はＡ×２を９で割った余りということになります。余り７、というのは余り１６と同じですね。（ふつーはそう書きませんけど）Ａ×２を９で割ると１６余る、ということになりますから、Ａを９で割ると８余ることが分かります。
（２）
今度は、Ｂ×Ｂを９で割ると余りが７、ということから逆算します。
まずＢを９で割った余りを考えます。これは１桁の整数ですが、Ｂ×Ｂだと７余るというのを（当然ですが）利用します。ここは具体的に、Ｂを９で割った余りが０の場合、１の場合、２の場合、・・・・、８の場合をそれぞれ検討してみます。
| Ｂを９で割った余り | Ｂ×Ｂを９で割った余り |
| ０ | ０ |
| １ | １ |
| ２ | ４ |
| ３ | ９→０ |
| ４ | １６→７ |
| ５ | ２５→７ |
| ６ | ３６→９ |
| ７ | ４９→１３ |
| ８ | ６４→１０→１ |